my complex soul

15 / mayo / 2011

El problema del Cumpleaños

Archivado en: Matemáticas,Probabilidad — mycomplexsoul @ 4:00 pm
Tags: cumpleaños, link, paradoja, probabilidad, referencia

¿Cuántas personas necesitamos reunir para que dos de ellas coincidan en el día de su cumpleaños con una probabilidad mayor del 50%?

También conocido como “La Paradoja del Cumpleaños”, este problema va en contra de la intuición normal al ser un número realmente “pequeño” el que se requiere para dar respuesta a la pregunta.

El problema ha sido ampliamente desarrollado en Internet, por lo que quizá lo mejor es recopilar algunas referencias completas sobre la solución del mismo:

+ [Wikipedia.org] Paradoja del Cumpleaños

+ [EstadísticaParaTodos.es] La Paradoja del Cumpleaños

+ [Gaussianos.com] La Paradoja del Cumpleaños

* Para los que buscan la solución rápida: 23 personas con probabilidad mayor a 50.7%.

Post #13 – mycomplexsoul

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1 / mayo / 2011

La Identidad de Pascal

Archivado en: Combinatoria,Demostración,Matemáticas — mycomplexsoul @ 6:40 pm
Tags: combinatoria, combinatorio, demostracion, identidad, igualdad, pascal

Sean $n$ y $r$ enteros positivos con $r\leq n$ . Entonces

$\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$

DEMOSTRACIÓN

La demostración se realiza de forma algebraica mostrando que el lado derecho es reducible al lado izquierdo.

$\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left( n-1\right) !}{\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left(n-r-1\right) !}$

Multiplicando por la identidad convenientemente, el primer término por $\frac{r}{r}$ y el segundo por $\frac{n-r}{n-r}$

$=\frac{r\left( n-1\right) !}{r\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right) \left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) \left(n-r-1\right) !}$

Completando factoriales

$=\frac{r\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right)\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}$

Factorizando el término común

$=\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}\left( r+\left(n-r\right) \right)$

Simplificando

$=\frac{\left( n-1\right) !n}{r!\left( n-r\right) !}$

Completando factorial

$=\frac{n!}{r!\left( n-r\right) !}$

$=\binom{n}{r}$

Así la identidad queda demostrada.

Post #12 – mycomplexsoul

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30 / julio / 2009

Linealizar Potencias Enteras De Coseno

Archivado en: Demostración,Matemáticas — mycomplexsoul @ 10:00 pm
Tags: coseno, demostracion, demostracion por induccion, funcion coseno, linealizar, linealizar potencia, potencia, potencia entera, potencias de coseno, reexpresar potencia, suma de coseno, suma lineal

La expresión general $2^{n}\cos ^{n}\left( x\right)$ que es una potencia de la función trigonométrica coseno, es reducible a una suma de cosenos lineales de acuerdo a la siguiente fórmula.

Proposición:

$2^{n}\cos ^{n}\left( x\right) =\left\{ \begin{array}{cc} \sum\limits_{i=0}^{\left\lceil \frac{n-1}{2}\right\rceil }\binom{n}{i}2\cos\left( \left( n-2i\right) x\right) & n\text{ impar} \\ \sum\limits_{i=0}^{\left\lceil \frac{n-1}{2}\right\rceil -1}\binom{n}{i} 2\cos \left( \left( n-2i\right) x\right) +2\binom{n-1}{\left\lceil \frac{n-1}{2}\right\rceil -1} & n\text{ par} \end{array} \right.$

La demostración se hará por inducción para $n$ par e impar, demostrando pares e impares por separado.

DEMOSTRACIÓN

Con $n$ impar

Para $n=1$ tenemos:

$2^{1}\cos ^{1}\left( x\right) =\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil \frac{1-1}{2}\right\rceil }\binom{1}{i}2\cos \left( \left( 1-2i\right) x\right) =2\cos \left( x\right)$

Suponemos para $n=2p-1$

$2^{2p-1}\cos ^{2p-1}\left( x\right) =\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right)$

Para demostrar el siguiente impar multiplicamos por $2^{2}\cos ^{2}\left( x\right)$

$\left( 2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) \right) \left( 2^{2p-1}\cos ^{2p-1}\left( x\right) \right) =\left( 2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) \right) \sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right)$

Introduciendo a la sumatoria y viendo que $2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) =2\left( \cos 2x+1\right)$

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\left( \cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right) \left( 2\left( \cos 2x+1\right) \right) \right)$

Multiplicando

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\left( 2\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right) \left( \cos 2x\right) +2\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right) \right)$

Utilizando la identidad trigonométrica $2\cos x\cos y=\cos \left( x+y\right) +\cos \left( x-y\right)$

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\left( \cos \left( \left( 2p-1-2i+2\right) x\right) +\cos \left( \left( 2p-1-2i-2\right) x\right) +2\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right) \right)$

Separando sumatorias

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left( 2p-1-2i+2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left(2p-1-2i-2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2^{2}\cos\left( \left( 2p-1-2i\right) x\right)$

Para poder sumar correctamente vamos a separar los dos primeros terminos de la primera sumatoria, los dos últimos terminos de la segunda sumatoria, el primero y el último termino de la tercera sumatoria. De este modo:

$=\sum\limits_{i=2}^{p-1}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left( 2p-1-2i+2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-3}\binom{2p-1}{i}2\cos \left( \left( 2p-1-2i-2\right) x\right) +\sum\limits_{i=1}^{p-2}\binom{2p-1}{i}2^{2}\cos \left( \left( 2p-1-2i\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\binom{2p-1}{1}2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\binom{2p-1}{p-2}2\cos \left( \left( 1\right) x\right) +\binom{2p-1}{p-1}2\cos \left( \left( -1\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2^{2}\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\binom{2p-1}{p-1}2^{2}\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que $\cos x=\cos \left( -x\right)$

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p-1}{j+2}2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right) +\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p-1}{j}2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right) +\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p-1}{j+1}2^{2}\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( \binom{2p-1}{1}+2\binom{2p-1}{0}\right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\left( \binom{2p-1}{p-2}+\binom{2p-1}{p-1}+2\binom{2p-1}{p-1}\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Factorizando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \binom{2p-1}{j+2}+\binom{2p-1}{j}+2\binom{2p-1}{j+1}\right) 2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( 2p-1+2\left( 1\right) \right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\left( \frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( p-2\right) !\left( p+1\right) !}+3\frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( p-1\right) !p!}\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Reexpresando convenientemente

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( j+2\right) !\left( 2p-3-j\right) !}+\frac{\left( 2p-1\right) !}{j!\left( 2p-1-j\right) !}+2\frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( j+1\right) !\left( 2p-2-j\right) !}\right) 2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( 2p+1\right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\left( 2p-1\right) !\left( \frac{1}{\left( p-2\right) !\left( p+1\right) !}+3\frac{1}{\left( p-1\right) !p!}\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\frac{\left( 2p-1\right) !}{j!\left( 2p-1-j\right) !}\left( \frac{\left( 2p-1-j\right) \left( 2p-2-j\right) }{\left( j+2\right) \left( j+1\right) }+1+2\frac{\left( 2p-1-j\right) }{\left( j+1\right) }\right) 2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( 2p+1\right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\frac{\left( 2p-1\right) !}{p!\left( p-1\right) !}\left( \frac{\left( p-1\right) }{\left( p+1\right) }+3\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Sumando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\frac{\left( 2p-1\right) !}{j!\left( 2p-1-j\right) !}\left( \frac{\left( 2p\right) \left( 2p+1\right) }{\left( j+2\right) \left( j+1\right) }\right) 2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( 2p+1\right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\frac{\left( 2p-1\right) !}{p!\left( p-1\right) !}\left( \frac{2\left( 2p+1\right) }{\left( p+1\right) }\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Reexpresando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \frac{\left( 2p+1\right) !}{\left( j+2\right) !\left( 2p-1-j\right) !}\right) 2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p-1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\left( 2p+1\right) 2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\frac{\left( 2p+1\right) !}{\left( p+1\right) !\left( p-1\right) !}\left( \frac{2}{\left( 2p\right) }\right) 2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Reexpresando convenientemente

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p+1}{j+2}2\cos \left( \left( 2p-3-2j\right) x\right) +\binom{2p+1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\binom{2p+1}{1}2\cos \left( \left( 2p-1\right) x\right) +\binom{2p+1}{p}2\cos \left( \left( 1\right) x\right)$

Reescribiendo el índice de la sumatoria

$=\sum\limits_{i=2}^{p-1}\binom{2p+1}{i}2\cos \left( \left( 2p+1-2i\right) x\right) +\binom{2p+1}{0}2\cos \left( \left( 2p+1\right) x\right) +\binom{2p+1}{1}2\cos \left( \left( 2p+1-2\left( 1\right) \right) x\right) +\binom{2p+1}{p}2\cos \left( \left( 2p+1-2\left( p\right) \right) x\right)$

Incorporando los terminos separados

$=\sum\limits_{i=0}^{p}\binom{2p+1}{i}2\cos \left( \left( 2p+1-2i\right) x\right)$

$=2^{2p+1}\cos ^{2p+1}\left( x\right)$

Demostrado para $n$ impar.

Con $n$ par

Para $n=2$ tenemos:

$2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) =\sum\limits_{i=0}^{\left\lceil \frac{2-1}{2}\right\rceil -1}\binom{2}{i}2\cos \left( \left( 2-2i\right) x\right) +2\binom{2-1}{\left\lceil \frac{2-1}{2}\right\rceil -1}=2\cos \left( 2x\right) +2$

Suponemos para $n=2p$

$2^{2p}\cos ^{2p}\left( x\right) =\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) +2\binom{2p-1}{p-1}$

Para demostrar el siguiente par multiplicamos por $2^{2}\cos ^{2}\left( x\right)$

$\left( 2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) \right) \left( 2^{2p}\cos ^{2p}\left( x\right) \right) =\left( 2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) \right) \left( \sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) +2\binom{2p-1}{p-1}\right)$

Introduciendo a la sumatoria y viendo que $2^{2}\cos ^{2}\left( x\right) =2\left( \cos 2x+1\right)$

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\left( \cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) \left( 2\left( \cos 2x+1\right) \right) \right) +2 \binom{2p-1}{p-1}\left( 2\cos 2x+2\right)$

Multiplicando

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\left( 2\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) \left( \cos 2x\right) +2\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) \right) +2\binom{2p-1}{p-1}\left( 2\cos 2x+2\right)$

Utilizando la identidad trigonométrica $2\cos x\cos y=\cos \left( x+y\right) +\cos \left( x-y\right)$

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\left( \cos \left( \left( 2p-2i+2\right) x\right) +\cos \left( \left( 2p-2i-2\right) x\right) +2\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) \right) +2\binom{2p-1}{p-1}\left( 2\cos 2x+2\right)$

Separando sumatorias

$=\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i+2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i-2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-1}\binom{2p}{i}2^{2}\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right) +2\binom{2p-1}{p-1}\left( 2\cos 2x+2\right)$

$=\sum\limits_{i=2}^{p-1}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i+2\right) x\right) +\sum\limits_{i=0}^{p-3}\binom{2p}{i}2\cos \left( \left( 2p-2i-2\right) x\right) +\sum\limits_{i=1}^{p-2}\binom{2p}{i}2^{2}\cos \left( \left( 2p-2i\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\binom{2p}{1}2\cos \left( 2px\right) +\binom{2p}{p-2}2\cos \left( 2x\right) +\binom{2p}{p-1}2\cos \left( 0x\right)$

$+\binom{2p}{0}2^{2}\cos \left( 2px\right) +\binom{2p}{p-1}2^{2}\cos \left( 2x\right) +2\binom{2p-1}{p-1}\left( 2\cos 2x+2\right)$

Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que $\cos 0x=1$

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p}{j+2}2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right) +\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p}{j}2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right) +\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p}{j+1}2^{2}\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\left( \binom{2p}{1}+2\binom{2p}{0}\right) 2\cos \left( 2px\right) +\left( \binom{2p}{p-2}+2\binom{2p}{p-1}+2\binom{2p-1}{p-1}\right) 2\cos \left( 2x\right) +2\binom{2p}{p-1}+2^{2}\binom{2p-1}{p-1}$

Factorizando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \binom{2p}{j+2}+\binom{2p}{j}+2\binom{2p}{j+1}\right) 2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\left( 2p+2\left( 1\right) \right) 2\cos \left( 2px\right) +\left( \frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-2\right) !\left( p+2\right) !}+2\frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}+2\frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( p-1\right) !p!}\right) 2\cos \left( 2x\right) +2\left( \frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}+2\frac{\left( 2p-1\right) !}{\left( p-1\right) !p!}\right)$

Reexpresando convenientemente

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \frac{\left( 2p\right) !}{\left( j+2\right) !\left( 2p-2-j\right) !}+\frac{\left( 2p\right) !}{j!\left( 2p-j\right) !}+2\frac{\left( 2p\right) !}{\left( j+1\right) !\left( 2p-1-j\right) !}\right) 2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\left( 2p+2\right) 2\cos \left( 2px\right) +\frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}\left( \frac{\left( p-1\right) }{\left( p+2\right) }+2+2\frac{\left( p+1\right) }{\left( 2p\right) }\right) 2\cos \left( 2x\right) +2\frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}\left( 1+2\frac{\left( p+1\right) }{\left( 2p\right) }\right)$

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\frac{\left( 2p\right) !}{j!\left( 2p-j\right) !}\left( \frac{\left( 2p-j\right) \left( 2p-1-j\right) }{\left( j+2\right) \left( j+1\right) }+1+2\frac{\left( 2p-j\right) }{\left( j+1\right) }\right) 2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\left( 2p+2\right) 2\cos \left( 2px\right) +\frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}\left( \frac{\left( 2p+1\right) \left( 2p+2\right) }{p\left( p+2\right) }\right) 2\cos \left( 2x\right) +2\frac{\left( 2p\right) !}{\left( p-1\right) !\left( p+1\right) !}\left( \frac{2p+1}{p}\right)$

Sumando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\frac{\left( 2p\right) !}{j!\left( 2p-j\right) !}\left( \frac{\left( 2p+1\right) \left( 2p+2\right) }{\left( j+2\right) \left( j+1\right) }\right) 2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

$+\binom{2p}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\left( 2p+2\right) 2\cos \left( 2px\right) +\left( \frac{\left( 2p+2\right) !}{p!\left( p+2\right) !}\right) 2\cos \left( 2x\right) +2\left( \frac{\left( 2p+1\right) !}{p!\left( p+1\right) !}\right)$

Reexpresando

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\left( \frac{\left( 2p+2\right) !}{\left( j+2\right) !\left( 2p-j\right) !}\right) 2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right)$

Reexpresando convenientemente

$=\sum\limits_{j=0}^{p-3}\binom{2p+2}{j+2}2\cos \left( \left( 2p-2-2j\right) x\right) +\binom{2p+2}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\binom{2p+2}{1}2\cos \left( 2px\right) +\binom{2p+2}{p}2\cos \left( 2x\right) +2\binom{2p+1}{p}$

Reescribiendo el índice de la sumatoria

$=\sum\limits_{i=2}^{p-1}\binom{2p+2}{i}2\cos \left( \left( 2p+2-2i\right) x\right) +\binom{2p+2}{0}2\cos \left( \left( 2p+2\right) x\right) +\binom{2p+2}{1}2\cos \left( \left( 2p+2-2\left( 1\right) \right) x\right)$

$+\binom{2p+2}{p}2\cos \left( \left( 2p+2-2\left( p\right) \right) x\right) +2\binom{2p+1}{\left( p+1\right) -1}$

Incorporando los terminos separados

$=\sum\limits_{i=0}^{p}\binom{2p+2}{i}2\cos \left( \left( 2p+2-2i\right) x\right) +2\binom{2p+1}{\left\lceil \frac{2p+1}{2}\right\rceil -1}$

$=2^{2p+2}\cos ^{2p+2}\left( x\right)$

Demostrado para $n$ par.

Post #11 – mycomplexsoul

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14 / junio / 2009

Mínimos Cuadrados No Lineales

Archivado en: Ajuste,Algoritmos,Matemáticas — mycomplexsoul @ 2:00 pm
Tags: ajuste de datos, algoritmo, ejemplo, ejemplo de calculo, funcion, Matemáticas, metodo de newton, minimos cuadrados, minimos cuadrados no lineales, optimizacion, regresion, regresion no lineal

Para ajustar un modelo $m\left( x,t\right)$ de $n$ parámetros a un conjunto de $m$ datos $\left( t_{i},y_{i}\right)$ , definimos $f\left( x\right) =\frac{1}{2}R\left( x\right) ^{T}R\left( x\right)$ con $R:\mathbb{R}^{n}\rightarrow \mathbb{R}^{m}$ y $R\left( x\right)$ no lineal con $r_{i}\left( x\right) =m\left( x,t_{i}\right) -y_{i}$ cómo i-ésima componente.

El problema finalmente es:

Minimizar $f\left( x\right) =\frac{1}{2}R\left( x\right) ^{T}R\left( x\right) =\frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^{m}r_{i}^{2}\left( x\right)$

Esto es equivalente a minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre el modelo y los datos.

$f\left( x\right)$ es una función semi-paraboidal en el sentido de que es la suma de parábolas y por tanto es minimizable.

Para hallar $x$ tal que $f\left( x\right)$ se minimiza, hallamos las soluciones del gradiente de $f\left( x\right) ,$ de este modo, definiendo $J\left( x\right) \in \mathbb{R} ^{m\times n}$ como el jacobiano de $R\left( x\right) ,J\left( x\right) _{ij}=\frac{\partial r_{i}\left( x\right) }{\partial x_{j}}$ tenemos las 2 primeras derivadas de $f\left( x\right)$ :

$\nabla f\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}r_{i}\left( x\right) \cdot \nabla r_{i}\left( x\right) =J\left( x\right) ^{T}R\left( x\right)$

$\nabla ^{2}f\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}\left( \nabla r_{i}\left( x\right) \cdot \nabla r_{i}\left( x\right) ^{T}+r_{i}\left( x\right) \cdot \nabla ^{2}r_{i}\left( x\right) \right) =J\left( x\right) ^{T}J\left( x\right) +S\left( x\right)$

Siendo $S\left( x\right) =\sum\limits_{i=1}^{m}r_{i}\left( x\right) \cdot \nabla ^{2}r_{i}\left( x\right)$

Aplicando el método de Newton para resolver $\nabla f\left( x\right)$ tenemos:

$x_{n+1}=x_{n}-\left( \nabla ^{2}f\left( x_{n}\right) \right) ^{-1}\nabla f\left( x_{n}\right)$

$x_{n+1}=x_{n}-\left( J\left( x_{n}\right) ^{T}J\left( x_{n}\right) +S\left( x_{n}\right) \right) ^{-1}J\left( x_{n}\right) ^{T}R\left( x_{n}\right)$

EJEMPLO

Ajustar el modelo $y\left( t\right) =e^{tx}$ a los siguientes datos:

$\begin{tabular}{|l|l|l|l|} \hline t & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 2 & 4 & 8 \\ \hline \end{tabular}$

De aquí, $m\left( x,t_{i}\right) =e^{t_{i}x}$ entonces:

$R=r_{i}\left( x\right) =m\left( x,t_{i}\right) -y_{0}\left( t_{i}\right) =\left( \begin{array}{c} e^{x}-2 \\ e^{2x}-4 \\ e^{3x}-8\end{array}\right)$

Ahora $f\left( x\right) =\frac{1}{2}R\left( x\right) ^{T}R\left( x\right) =\frac{1}{2}\left[ \left( e^{x}-2\right) ^{2}+\left( e^{2x}-4\right) ^{2}+\left( e^{3x}-8\right) ^{2}\right]$

De este modo:

$\nabla f\left( x\right) =e^{x}\left( e^{x}-2\right) +2e^{2x}\left( e^{2x}-4\right) +3e^{3x}\left( e^{3x}-8\right)$

$\nabla ^{2}f\left( x\right) =\left( e^{x}\right) ^{2}+\left( 2e^{2x}\right) ^{2}+\left( 3e^{3x}\right) ^{2}+e^{x}\left( e^{x}-2\right) +4e^{2x}\left( e^{2x}-4\right) +9e^{3x}\left( e^{3x}-8\right)$

Finalmente aplicando el método de Newton con:

$x_{n+1}=x_{n}-\left( \nabla ^{2}f\left( x_{n}\right) \right) ^{-1}\nabla f\left( x_{n}\right)$

Con $x_{0}=1$ y 8 decimales tenemos:

$\begin{tabular}{|l|l|} \hline n & x \\ \hline 0 & 1.00000000 \\ \hline 1 & 0.87299182 \\ \hline 2 & 0.77360001 \\ \hline 3 & 0.71421136 \\ \hline 4 & 0.69491616 \\ \hline 5 & 0.69316064 \\ \hline 6 & 0.69314718 \\ \hline 7 & 0.69314718 \\ \hline \end{tabular}$

Obtenemos una convergencia en 7 iteraciones con $x_{7}=\ln 2\approx 0.69314718$

De modo que $y\left( t\right) =e^{t\ln 2}=2^{t}$ la cual se ajusta a los datos.

Post #10 – mycomplexsoul

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16 / mayo / 2009

Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas

Archivado en: Demostración,Matemáticas — mycomplexsoul @ 2:00 pm
Tags: funcion inversa, funciones trigonometricas, funciones trigonometricas hiperbolicas, funciones trigonometricas hiperbolicas inversas, inversa, seno hiperbolico, trigonometricas, trigonometricas hiperbolicas, trigonometricas hiperbolicas inversas

DEFINICIÓN

Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen en términos de la función exponencial de la siguiente manera:

$\sinh \left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x}\right)$

$\cosh \left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x}\right)$

$\tanh \left( x\right) =\allowbreak \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$

Cuyo dominio es $x\in \mathbb{C}$ (o más estrictamente $x\in \mathbb{R}$ ). Y las funciones inversas de éstas se definen en términos de la función logaritmo natural y se pueden deducir despejando las expresiones anteriores, quedando:

$\sinh ^{-1}\left( x\right) =\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right)$

$\cosh ^{-1}\left( x\right) =\allowbreak \ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)$

$\tanh ^{-1}\left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{1-x}\right)$

Cuyo dominio es $x\in \mathbb{C}$ (estrictamente serían $x\in \mathbb{R}$ , $x\geq 1$ , $-1<1$ respectivamente).

PROBLEMA

No obstante, introducir una simple constante como divisor de $x$ parece oscurecer la forma que debe tener la inversa de la función. Es decir ¿Cuál es la inversa de $\sinh \left( \frac{x}{a}\right)$ ? ( $a\neq 0$ )

CONJETURANDO

Suponiendo que no conocemos la definición de $\sinh ^{-1}\left( x\right)$ podemos tratar de hallar la inversa de $y=\sinh \left( \frac{x}{a}\right)$ mediante la siguiente sucesión de pasos lógicos:

$y=\frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)$

$2y=e^{\frac{x}{a}}-\frac{1}{e^{\frac{x}{a}}}$

Como $e^{\frac{x}{a}}\neq 0$ $\forall x$ podemos multiplicar y posteriormente reacomodar

$2ye^{\frac{x}{a}}=e^{2\frac{x}{a}}-1$

$e^{2\frac{x}{a}}-2ye^{\frac{x}{a}}=1$

Completando el cuadrado sumando $y^{2}$ a ambos lados y despejando

$\left( e^{\frac{x}{a}}-y\right) ^{2}=1+y^{2}$

$e^{\frac{x}{a}}=y\pm \sqrt{1+y^{2}}$

$x=a\ln \left( y\pm \sqrt{1+y^{2}}\right)$

De este modo la inversa es $y=\sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) =a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right)$ .

CORRIGIENDO EL CAMINO

No obstante esta no es la inversa pues las composiciones $\sinh \left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right)$ y $\sinh ^{-1}\left( \sinh \left( \frac{x}{a}\right) \right)$ no coinciden con esta definición. La siguiente igualdad fallará:

$\sinh \left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right) =\sinh ^{-1}\left( \sinh \left( \frac{x}{a}\right) \right)$

$\sinh \left( a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) \right) =\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \right)$

$\frac{1}{2}\left( e^{a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) }-e^{-a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) }\right) =a\ln \left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \sqrt{1+\left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \right) ^{2}}\right)$

$\frac{1}{2}\left( e^{\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}-e^{\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{-a}}\right) =a\ln \left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left( e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) ^{2}}\right)$

$\frac{1}{2}\left( \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}-\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{-a}\right) =a\ln \frac{1}{2}\left( \left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \left( e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) \right)$

$\frac{1}{2}\frac{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{2a}-1}{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}=a\ln \frac{1}{2}\left( \pm 2e^{\pm \frac{x}{a}}\right)$

Llegado a este paso, el miembro izquierdo de la ecuación no se puede simplificar más a menos que $a=1$ . El lado derecho se simplifica como sigue:

$a\ln \frac{1}{2}\left( \pm 2e^{\pm \frac{x}{a}}\right) =a\left( \ln \left( \pm 1\right) +\ln \left( e^{\pm \frac{x}{a}}\right) \right) =a\ln \left( \pm 1\right) \pm x=a\ln \left( 1\right) +x=x$

De este modo:

$\frac{1}{2}\frac{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{2a}-1}{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}=x$

El error radica en la forma en que se concibe a la variable independiente en el cálculo de la inversa pues, desde el comienzo se maneja $\frac{x}{a}$ en vez de $x$ de tal forma que podemos interpretar nuestra variable independiente como $t=\frac{x}{a}$ , de este modo el despeje para hallar la inversa es el adecuado:

$y=\frac{1}{2}\left( e^{t}-e^{-t}\right)$

$2y=e^{t}-\frac{1}{e^{t}}$

$2ye^{t}=e^{2t}-1$

$e^{2t}-2ye^{t}=1$

$\left( e^{t}-y\right) ^{2}=1+y^{2}$

$e^{t}=y\pm \sqrt{1+y^{2}}$

$t=\ln \left( y\pm \sqrt{1+y^{2}}\right)$

De este modo la inversa es $y=\sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) =\ln \left( \frac{x}{a}\pm \sqrt{1+\left( \frac{x}{a}\right) ^{2}}\right)$ .

LA IMPORTANCIA

Es importante tener clara cuál es la función inversa (y su dominio y rango) pues no parece haber referencias fiables siempre a la mano, por ejemplo es muy común que en libros de texto se llegué al cálculo de esta función inversa por medio de una integral, es natural saber cual es la integral a resolver si sabemos que:

$\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right) =\allowbreak \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$

De modo que al integrar mediante el cambio de variable $x=a\tan \theta$ obtendremos de forma natural la inversa:

$\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\sec ^{2}\theta d\theta }{\sqrt{a^{2}\left( 1+\tan ^{2}\theta \right) }}=\int \sec \theta d\theta =\allowbreak \ln \left\vert \sec \theta +\tan \theta \right\vert +c$

$=\ln \left\vert \frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right\vert +c$

Hay muchas referencias textuales que indican que el resultado de la integral (y por lo tanto, la inversa de $\sinh \left( \frac{x}{a}\right)$ ) es:

$\ln \left\vert x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right\vert +c$

Que viene como resultado natural de separar el $\ln a$ y adicionarlo dentro de la constante de integración. Pero esto no es un error dado el contexto de uso, simplemente es un ejercicio de conciencia para la buena manipulación algebraica y conceptual de las funciones trigonométricas hiperbólicas, sobre todo cuando se tienen argumentos con expresiones más elaboradas.

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