my complex soul

31 / agosto / 2008

Raíz Cúbica

Filed under: Algoritmos — mycomplexsoul @ 11:00 am
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El algoritmo para calcular la raíz cúbica a mano es idéntico al de la raíz cuadrada salvo las diferencias en la expansión binomial \left( a+b\right) ^{3} respecto a \left( a+b\right) ^{2}.

En el algoritmo de raíz cuadrada, se usa la expansión \left(a+b\right) ^{2}=\allowbreak a^{2}+2ab+b^{2} de tal forma que al separar los digitos de a+b en pares podamos aproximar el primer numero a dejando el resto de la expresión para repeticiones sucesivas del algoritmo. De este modo cuando en el siguiente paso hacemos “el doble del numero que elegimos agregando otro tal que multiplicado por el numero que agregamos sea menor que el resto dentro de la casita” es exactamente lo mismo que hacer \left(2a\ast 10+b\right) \ast b=2ab+b^{2} que es el complemento de la expansión binomial (con la ligera diferencia de que $a$ es un multiplo de 10). Para la raíz cúbica se hará lo mismo en cada paso, entonces:

ALGORITMO

1.- Separamos los digitos de a+b en ternas de derecha a izquierda a partir del punto decimal y después del punto, de izquierda a derecha.

2.- Se aproxima por abajo la raíz cúbica del numero (en bloques de comas) más a la izquierda y se anota en el resultado calculando el resto y agregando la siguiente terna.

3.- Usando el resultado actual multiplicado por 10 como a y agregando un b de tal forma que la expresión 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} aproxime por abajo al resto actual. Calculamos el resto, agregamos la siguiente terna (si la hay).

4.- Se repite el paso 3 hasta terminar con las ternas o hasta la precisión deseada.


EJEMPLO \sqrt[3]{15363967256}=2486

Paso 1: Separamos los digitos en ternas.

\sqrt[3]{15,363,967,256}

Paso 2: Aproximamos \sqrt[3]{15} por debajo, esto es 2. De modo que 15-2^{3}=7, lo anotamos y agregamos la siguiente terna de arriba 363.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2 \\\text{ \ \ \ }7,363 &\end{array}

Paso 3: Hacemos a=2\ast 10=20 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 7,363. Reexpresando tenemos: 3\left( 20\right)^{2}b+3\left( 20\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 1200b+60b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 1200b seleccionando b=4 obtenemos 1200\left( 4\right) +60\left( 4\right) ^{2}+4^{3}=\allowbreak 5,824. Anotamos el 4 (el valor de b que elegimos), calculamos el resto 7363-5824=1539, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna. (Note que con b=5 nos hubieramos pasado del resto obteniendo 1200\left( 5\right) +60\left(5\right) ^{2}+5^{3}=\allowbreak 7625).

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 24 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 &\end{array}

Paso 3 (Segunda iteración): Ahora hacemos a=24\ast 10=240 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 1,539,967. Reexpresando: 3\left( 240\right) ^{2}b+3\left( 240\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 172800b+720b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 172800b seleccionando b=8 obtenemos 172800\left( 8\right) +720\left( 8\right)^{2}+8^{3}=\allowbreak 1428\,992. Anotamos el 8 (el valor de b que elegimos), calculamos el resto 1,539,967-1,428,992=110,975, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 248 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 &\end{array}

Paso 3 (Tercera iteración): Ahora hacemos a=248\ast 10=2480 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 110,975,256. Reexpresando tenemos: 3\left( 2480\right) ^{2}b+3\left( 2480\right) b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 3\left( 2480\right) ^{2}b seleccionando b=6 obtenemos 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right) +3\left( 2480\right)\left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256. Anotamos el 6 (el valor de $b$ que elegimos), calculamos el resto 110,975,256-11,097,256=0, lo anotamos debajo y como el resto es cero, la raíz es exacta.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2486 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 & 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right)+3\left( 2480\right) \left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256 \\\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }0 &\end{array}

De este modo:

\sqrt[3]{15,363,967,256}=2486

Como este procedimiento es general, para cualquier entero n>3 basta con sustituir las referencias cúbicas por n-ésimas y la expansión binomial cúbica por la n-ésima \left( a+b\right) ^{n}.


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8 comentarios »

  1. ¿ Pueden ser mas específicos con los números?,porque no entiendo.

    Comentario por cin — 21 / septiembre / 2009 @ 2:37 pm | Responder

  2. gracias por tu aporte esta MUY bueno…. estoy intentando seguir este algoritmo
    para calcular la raiz cubica de 2….. lo haz hecho y con un numero decimal???

    Comentario por juan — 19 / septiembre / 2010 @ 10:29 am | Responder

    • El algoritmo aplica por igual, solo hay que bajar 3 posiciones decimales en cada iteración para conseguir el resultado hasta la precisión que buscas. En este caso bajarían tres ceros y el punto decimal hay que ignorarlo, no afecta los cálculos y los valores de a y b son enteros todo el tiempo. Saludos.

      Comentario por mycomplexsoul — 19 / septiembre / 2010 @ 11:01 pm | Responder

  3. Hola! oye si es la raíz pero me aparece raíz cubica de -64, es lo mismo?

    Comentario por Edrei — 8 / agosto / 2013 @ 5:38 pm | Responder

    • Es lo mismo, únicamente factorizando: \sqrt[3]{-64}=\sqrt[3]{64}*\sqrt[3]{-1}=4*\sqrt[3]{-1}=4*(-1)=-4

      Comentario por mycomplexsoul — 9 / agosto / 2013 @ 9:16 am | Responder

  4. Hola a todos. Tengo una duda… ¿de donde surge el 24 al lado de la raíz cúbica?
    Les agradecería una respuesta :)
    Gracias.

    Comentario por Maleja — 27 / noviembre / 2013 @ 2:56 pm | Responder

    • Mira, ese 24 esta dado por la organización de los números que vas hallando. Es decir, primero encontramos que el dos es el que se aproxima a una raíz cúbica del número, luego encontramos el cuatro. Osea, cada vez que vallas encontrando los dígitos correspondientes (que serán la respuesta), los irás anotando a la derecha del número que se convertirá en la solución.

      Comentario por tumatem — 27 / noviembre / 2013 @ 3:12 pm | Responder

  5. Hola gente no entendi un carajo el 3 punto por favor si alguieb me lo puedo explicar le agradeceria nada mas :3 asdadsa :’3

    Comentario por gaston cruz — 16 / febrero / 2014 @ 7:57 pm | Responder


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