La Identidad de Pascal

1 / mayo / 2011

La Identidad de Pascal

Archivado en: Combinatoria,Demostración,Matemáticas — mycomplexsoul @ 6:40 pm
Tags: combinatoria, combinatorio, demostracion, identidad, igualdad, pascal

Sean $n$ y $r$ enteros positivos con $r\leq n$ . Entonces

$\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$

DEMOSTRACIÓN

La demostración se realiza de forma algebraica mostrando que el lado derecho es reducible al lado izquierdo.

$\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left( n-1\right) !}{\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left(n-r-1\right) !}$

Multiplicando por la identidad convenientemente, el primer término por $\frac{r}{r}$ y el segundo por $\frac{n-r}{n-r}$

$=\frac{r\left( n-1\right) !}{r\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right) \left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) \left(n-r-1\right) !}$

Completando factoriales

$=\frac{r\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right)\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}$

Factorizando el término común

$=\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}\left( r+\left(n-r\right) \right)$

Simplificando

$=\frac{\left( n-1\right) !n}{r!\left( n-r\right) !}$

Completando factorial

$=\frac{n!}{r!\left( n-r\right) !}$

$=\binom{n}{r}$

Así la identidad queda demostrada.

Post #12 – mycomplexsoul

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