También conocido como “La Paradoja del Cumpleaños”, este problema va en contra de la intuición normal al ser un número realmente “pequeño” el que se requiere para dar respuesta a la pregunta.

El problema ha sido ampliamente desarrollado en Internet, por lo que quizá lo mejor es recopilar algunas referencias completas sobre la solución del mismo:

+ [Wikipedia.org] Paradoja del Cumpleaños

+ [EstadísticaParaTodos.es] La Paradoja del Cumpleaños

+ [Gaussianos.com] La Paradoja del Cumpleaños

* Para los que buscan la solución rápida: 23 personas con probabilidad mayor a 50.7%.

Post #13 – mycomplexsoul

DEMOSTRACIÓN

La demostración se realiza de forma algebraica mostrando que el lado derecho es reducible al lado izquierdo.

Multiplicando por la identidad convenientemente, el primer término por y el segundo por

Completando factoriales

Factorizando el término común

Simplificando

Completando factorial

Así la identidad queda demostrada.

Post #12 – mycomplexsoul

Proposición:

La demostración se hará por inducción para par e impar, demostrando pares e impares por separado.

Con impar

Para tenemos:

Suponemos para

Para demostrar el siguiente impar multiplicamos por

Introduciendo a la sumatoria y viendo que

Multiplicando

Utilizando la identidad trigonométrica

Separando sumatorias

Para poder sumar correctamente vamos a separar los dos primeros terminos de la primera sumatoria, los dos últimos terminos de la segunda sumatoria, el primero y el último termino de la tercera sumatoria. De este modo:

Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que

Factorizando

Reexpresando convenientemente

Sumando

Reexpresando

Reexpresando convenientemente

Reescribiendo el índice de la sumatoria

Incorporando los terminos separados

Demostrado para impar.

Con par

Para tenemos:

Suponemos para

Para demostrar el siguiente par multiplicamos por

Introduciendo a la sumatoria y viendo que

Multiplicando

Utilizando la identidad trigonométrica

Separando sumatorias

Para poder sumar correctamente vamos a separar los dos primeros terminos de la primera sumatoria, los dos últimos terminos de la segunda sumatoria, el primero y el último termino de la tercera sumatoria. De este modo:

Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que

Factorizando

Reexpresando convenientemente

Sumando

Reexpresando

Reexpresando convenientemente

Reescribiendo el índice de la sumatoria

Incorporando los terminos separados

Demostrado para par.

Post #11 – mycomplexsoul

El problema finalmente es:

Minimizar

Esto es equivalente a minimizar la suma de los cuadrados de las diferencias entre el modelo y los datos.

es una función semi-paraboidal en el sentido de que es la suma de parábolas y por tanto es minimizable.

Para hallar tal que se minimiza, hallamos las soluciones del gradiente de de este modo, definiendo como el jacobiano de tenemos las 2 primeras derivadas de :

Siendo

Aplicando el método de Newton para resolver tenemos:

Ajustar el modelo a los siguientes datos:

De aquí, entonces:

Ahora

De este modo:

Finalmente aplicando el método de Newton con:

Con y 8 decimales tenemos:

Obtenemos una convergencia en 7 iteraciones con

De modo que la cual se ajusta a los datos.

Post #10 – mycomplexsoul

Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen en términos de la función exponencial de la siguiente manera:

Cuyo dominio es (o más estrictamente ). Y las funciones inversas de éstas se definen en términos de la función logaritmo natural y se pueden deducir despejando las expresiones anteriores, quedando:

Cuyo dominio es (estrictamente serían , , respectivamente).

PROBLEMA

No obstante, introducir una simple constante como divisor de parece oscurecer la forma que debe tener la inversa de la función. Es decir ¿Cuál es la inversa de ? ()

CONJETURANDO

Suponiendo que no conocemos la definición de podemos tratar de hallar la inversa de mediante la siguiente sucesión de pasos lógicos:

Como podemos multiplicar y posteriormente reacomodar

Completando el cuadrado sumando a ambos lados y despejando

De este modo la inversa es .

CORRIGIENDO EL CAMINO

No obstante esta no es la inversa pues las composiciones y no coinciden con esta definición. La siguiente igualdad fallará:

Llegado a este paso, el miembro izquierdo de la ecuación no se puede simplificar más a menos que . El lado derecho se simplifica como sigue:

De este modo:

El error radica en la forma en que se concibe a la variable independiente en el cálculo de la inversa pues, desde el comienzo se maneja en vez de de tal forma que podemos interpretar nuestra variable independiente como , de este modo el despeje para hallar la inversa es el adecuado:

De este modo la inversa es .

LA IMPORTANCIA

Es importante tener clara cuál es la función inversa (y su dominio y rango) pues no parece haber referencias fiables siempre a la mano, por ejemplo es muy común que en libros de texto se llegué al cálculo de esta función inversa por medio de una integral, es natural saber cual es la integral a resolver si sabemos que:

De modo que al integrar mediante el cambio de variable obtendremos de forma natural la inversa:

Hay muchas referencias textuales que indican que el resultado de la integral (y por lo tanto, la inversa de ) es:

Que viene como resultado natural de separar el y adicionarlo dentro de la constante de integración. Pero esto no es un error dado el contexto de uso, simplemente es un ejercicio de conciencia para la buena manipulación algebraica y conceptual de las funciones trigonométricas hiperbólicas, sobre todo cuando se tienen argumentos con expresiones más elaboradas.

Post #09 – mycomplexsoul

LOGARITMO NATURAL

Usaremos el hecho de que sabemos evaluar la función exponencial para números complejos y proponemos lo siguiente

Ésta igualdad de números complejos se cumple si y sólo si se satisface el sistema de ecuaciones asociado

Para resolver este sistema en términos de sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

Para hallar el valor de dividimos la segunda entre la primera como sigue

De este modo tenemos

Donde .

El mismo cálculo se puede hacer para cualquier base siguiendo el mismo procedimiento dado que (observe que esto es válido dada la extensión que acabamos de hacer para la función logaritmo natural) entonces

Ell sistema de ecuaciones asociado es

Para resolver este sistema en términos de sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

Para hallar el valor de dividimos la segunda entre la primera como sigue

Finalmente

Donde y .

Post #08 – mycomplexsoul

Donde son los parámetros a determinar.

Construimos como la suma de los cuadrados de las discrepancias del modelo y los datos.

Para hallar los valores de los parámetros que minimizan calculamos el gradiente:

E igualamos a cero:

Para la parcial de con respecto a la variable

Para las parciales de con respecto a la variable con

Definiendo con enteros obtenemos

Así, expresamos en forma matricial

De este modo el modelo ajusta a los datos.

Post #07 – mycomplexsoul

Donde . La demostración se hace por inducción.

Para . Muy simple, pero también se cumple.

Para .

Suponemos para .

Probamos para . Integrando por partes.

Sustituyendo

Sacando el primer termino de la primera sumatoria y renombrando índices para sumar adecuadamente

Acomodando

Simplificando

Renombrando índice, 2 posiciones para incluir los dos terminos aislados

Introduciendo en la sumatoria con y respectivamente

Demostrado .

Post #06 – mycomplexsoul

Donde para ambas funciones.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hará por inducción.

Para se cumple de la siguiente forma

Suponemos para

Y demostramos para usando integración por partes

Sustituyendo las integrales y

Ahora simplemente metemos el primer termino a la sumatoria usando . Reescribiendo

Demostrado .

Post #05 – mycomplexsoul

Donde son enteros positivos conocidos, y es la “semilla” del método.

Ésta sucesión así definida, genera un conjunto de números pseudo-aleatorios que tiene periodo completo si se cumplen:

1) El mcd de es igual a 1. (mcd=Máximo Común
Divisor)

2) Si es un primo tal que entonces

3) Si entonces

EJEMPLO

Si entonces y la sucesión generada es:

Se probará por inducción sobre que al resolver la recursividad
nos queda

Para es obvio que , al igual que para queda

Suponemos para que

Y ahora para tenemos por definición

Sustituyendo

Demostrado .

Post #04 – mycomplexsoul