Integrales Exponenciales

La integral exponencial simple \int x^{n}e^{ax}dx con n\geq 0 y a
constante tiene por resultado:

\int x^{n}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right)

Donde \frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( x^{n}\right) =x^{n}.

Para demostrar este resultado usamos inducción sobre n.


DEMOSTRACIÓN

Para n=0.

\int x^{0}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) =e^{ax}\left( \frac{1}{a}\right)

Suponemos para n=k.

\int x^{k}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right)

Probamos para n=k+1. Usando integración por partes.

\int x^{k+1}e^{ax}dx=\frac{1}{a}x^{k+1}e^{ax}-\frac{\left( k+1\right) }{a}\int x^{k}e^{ax}dx

Sustituyendo

\int x^{k+1}e^{ax}dx=\frac{1}{a}x^{k+1}e^{ax}-\frac{\left( k+1\right) }{a}e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right)

Reescribiendo el índice de la sumatoria

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}-\frac{\left( k+1\right) }{a}\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j-1}\frac{1}{a^{j}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( x^{k}\right) \right)

Reescribiendo

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( \left( k+1\right) x^{k}\right) \right)

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( \frac{d}{dx}\left( x^{k+1}\right) \right) \right)

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\left( x^{k+1}\right) \right)

Introduciendo el termino restante con j=0.

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{j=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\left( x^{k+1}\right)

Demostrado \forall n\in \mathbb{N}.


Post #02mycomplexsoul

2 pensamientos en “Integrales Exponenciales

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