Integrales Trigonométricas

Las integrales exactas para las formas trigonométricas \int x^{n}\sin xdx\ y\ \int x^{n}\cos xdx con n\in \mathbb{N}\cup \left\{ 0\right\} son

\int x^{n}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{n}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Donde \frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( f\left( x\right) \right) =f\left( x\right) para ambas funciones.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hará por inducción.

Para n=0 se cumple de la siguiente forma

\int \sin xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \sin x\right) =-\cos x

\int \cos xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \cos x\right) =\sin x

Suponemos para n=k

\int x^{k}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Y demostramos para n=k+1 usando integración por partes

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \int x^{k}\sin xdx

Sustituyendo las integrales \int x^{k}\sin xdx y \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) \right)

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) \right)

Ahora simplemente metemos el primer termino a la sumatoria usando i=k+1. Reescribiendo

\int x^{k+1}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k+1}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Demostrado \forall n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} .


Post #05mycomplexsoul

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