Logaritmo de Números Complejos

Básicamente tratamos de responder a la pregunta \log \left( a+bi\right)=? basándonos inicialmente en la función logaritmo natural.

LOGARITMO NATURAL

Usaremos el hecho de que sabemos evaluar la función exponencial para números complejos e^{a+bi}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b y proponemos lo siguiente

\ln \left( a+bi\right) =x+yi

a+bi=e^{x+yi}

a+bi=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y

Ésta igualdad de números complejos se cumple si y sólo si se satisface el sistema de ecuaciones asociado

a=e^{x}\cos y

b=e^{x}\sin y

Para resolver este sistema en términos de x,y sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

a^{2}+b^{2}=e^{2x}\left( \cos ^{2}y+\sin ^{2}y\right)

\sqrt{a^{2}+b^{2}}=e^{x}

x=\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}

Para hallar el valor de y dividimos la segunda entre la primera como sigue

\frac{b}{a}=\frac{e^{x}\sin y}{e^{x}\cos y}

\frac{b}{a}=\tan y

y=\arctan \left( \frac{b}{a}\right)

De este modo tenemos

\ln \left( a+bi\right) =\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\arctan \left( \frac{b}{a}\right)

Donde a+bi\neq 0+0i.


LOGARITMO EN CUALQUIER BASE

El mismo cálculo se puede hacer para cualquier base w\neq 0+0i siguiendo el mismo procedimiento dado que w^{a+bi}=w^{a}\cos \left( b\ln w\right) +w^{a}\sin \left( b\ln w\right) (observe que esto es válido dada la extensión que acabamos de hacer para la función logaritmo natural) entonces

\log _{w}\left( a+bi\right) =x+yi

a+bi=w^{x+yi}

a+bi=w^{x}\cos \left( y\ln w\right) +iw^{x}\sin \left( y\ln w\right)

Ell sistema de ecuaciones asociado es

a=w^{x}\cos \left( y\ln w\right)

b=w^{x}\sin \left( y\ln w\right)

Para resolver este sistema en términos de x,y sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

a^{2}+b^{2}=w^{2x}\left( \cos ^{2}\left( y\ln w\right) +\sin ^{2}\left( y\ln w\right) \right)

\sqrt{a^{2}+b^{2}}=w^{x}

x=\log _{w}\sqrt{a^{2}+b^{2}}

Para hallar el valor de y dividimos la segunda entre la primera como sigue

\frac{b}{a}=\frac{w^{x}\sin \left( y\ln w\right) }{w^{x}\cos \left( y\ln w\right) }

\frac{b}{a}=\tan \left( y\ln w\right)

y=\frac{1}{\ln w}\arctan \left( \frac{b}{a}\right)

Finalmente

\log _{w}\left( a+bi\right) =\log _{w}\sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\frac{1}{\ln w}\arctan \left( \frac{b}{a}\right)

Donde a+bi\neq 0+0i y w\neq 0+0i.


Post #08mycomplexsoul

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