Funciones Trigonométricas Hiperbólicas Inversas

DEFINICIÓN

Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen en términos de la función exponencial de la siguiente manera:

\sinh \left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\left( e^{x}-e^{-x}\right)

\cosh \left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\left( e^{x}+e^{-x}\right)

\tanh \left( x\right) =\allowbreak \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}

Cuyo dominio es x\in \mathbb{C} (o más estrictamente x\in \mathbb{R}). Y las funciones inversas de éstas se definen en términos de la función logaritmo natural y se pueden deducir despejando las expresiones anteriores, quedando:

\sinh ^{-1}\left( x\right) =\ln \left( x+\sqrt{x^{2}+1}\right)

\cosh ^{-1}\left( x\right) =\allowbreak \ln \left( x+\sqrt{x^{2}-1}\right)

\tanh ^{-1}\left( x\right) =\allowbreak \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x+1}{1-x}\right)

Cuyo dominio es x\in \mathbb{C} (estrictamente serían x\in \mathbb{R}, x\geq 1, -1<1 respectivamente).

PROBLEMA

No obstante, introducir una simple constante como divisor de x parece oscurecer la forma que debe tener la inversa de la función. Es decir ¿Cuál es la inversa de \sinh \left( \frac{x}{a}\right)? (a\neq 0)

CONJETURANDO

Suponiendo que no conocemos la definición de \sinh ^{-1}\left( x\right) podemos tratar de hallar la inversa de y=\sinh \left( \frac{x}{a}\right) mediante la siguiente sucesión de pasos lógicos:

y=\frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right)

2y=e^{\frac{x}{a}}-\frac{1}{e^{\frac{x}{a}}}

Como e^{\frac{x}{a}}\neq 0 \forall x podemos multiplicar y posteriormente reacomodar

2ye^{\frac{x}{a}}=e^{2\frac{x}{a}}-1

e^{2\frac{x}{a}}-2ye^{\frac{x}{a}}=1

Completando el cuadrado sumando y^{2} a ambos lados y despejando

\left( e^{\frac{x}{a}}-y\right) ^{2}=1+y^{2}

e^{\frac{x}{a}}=y\pm \sqrt{1+y^{2}}

x=a\ln \left( y\pm \sqrt{1+y^{2}}\right)

De este modo la inversa es y=\sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) =a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) .

CORRIGIENDO EL CAMINO

No obstante esta no es la inversa pues las composiciones \sinh \left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right) y \sinh ^{-1}\left( \sinh \left( \frac{x}{a}\right) \right) no coinciden con esta definición. La siguiente igualdad fallará:

\sinh \left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right) =\sinh ^{-1}\left( \sinh \left( \frac{x}{a}\right) \right)

\sinh \left( a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) \right) =\sinh ^{-1}\left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \right)

\frac{1}{2}\left( e^{a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) }-e^{-a\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) }\right) =a\ln \left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \sqrt{1+\left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \right) ^{2}}\right)

\frac{1}{2}\left( e^{\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}-e^{\ln \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{-a}}\right) =a\ln \left( \frac{1}{2}\left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \frac{1}{2}\sqrt{\left( e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) ^{2}}\right)

\frac{1}{2}\left( \left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}-\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{-a}\right) =a\ln \frac{1}{2}\left( \left( e^{\frac{x}{a}}-e^{-\frac{x}{a}}\right) \pm \left( e^{\frac{x}{a}}+e^{-\frac{x}{a}}\right) \right)

\frac{1}{2}\frac{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{2a}-1}{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}=a\ln \frac{1}{2}\left( \pm 2e^{\pm \frac{x}{a}}\right)

Llegado a este paso, el miembro izquierdo de la ecuación no se puede simplificar más a menos que a=1. El lado derecho se simplifica como sigue:

a\ln \frac{1}{2}\left( \pm 2e^{\pm \frac{x}{a}}\right) =a\left( \ln \left( \pm 1\right) +\ln \left( e^{\pm \frac{x}{a}}\right) \right) =a\ln \left( \pm 1\right) \pm x=a\ln \left( 1\right) +x=x

De este modo:

\frac{1}{2}\frac{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{2a}-1}{\left( x\pm \sqrt{1+x^{2}}\right) ^{a}}=x

El error radica en la forma en que se concibe a la variable independiente en el cálculo de la inversa pues, desde el comienzo se maneja \frac{x}{a} en vez de x de tal forma que podemos interpretar nuestra variable independiente como t=\frac{x}{a}, de este modo el despeje para hallar la inversa es el adecuado:

y=\frac{1}{2}\left( e^{t}-e^{-t}\right)

2y=e^{t}-\frac{1}{e^{t}}

2ye^{t}=e^{2t}-1

e^{2t}-2ye^{t}=1

\left( e^{t}-y\right) ^{2}=1+y^{2}

e^{t}=y\pm \sqrt{1+y^{2}}

t=\ln \left( y\pm \sqrt{1+y^{2}}\right)

De este modo la inversa es y=\sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) =\ln \left( \frac{x}{a}\pm \sqrt{1+\left( \frac{x}{a}\right) ^{2}}\right) .

LA IMPORTANCIA

Es importante tener clara cuál es la función inversa (y su dominio y rango) pues no parece haber referencias fiables siempre a la mano, por ejemplo es muy común que en libros de texto se llegué al cálculo de esta función inversa por medio de una integral, es natural saber cual es la integral a resolver si sabemos que:

\frac{d}{dx}\left( \sinh ^{-1}\left( \frac{x}{a}\right) \right) =\allowbreak \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}

De modo que al integrar mediante el cambio de variable x=a\tan \theta obtendremos de forma natural la inversa:

\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\int \frac{a\sec ^{2}\theta d\theta }{\sqrt{a^{2}\left( 1+\tan ^{2}\theta \right) }}=\int \sec \theta d\theta =\allowbreak \ln \left\vert \sec \theta +\tan \theta \right\vert +c

=\ln \left\vert \frac{x}{a}+\frac{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}{a}\right\vert +c

Hay muchas referencias textuales que indican que el resultado de la integral (y por lo tanto, la inversa de \sinh \left( \frac{x}{a}\right) ) es:

\ln \left\vert x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right\vert +c

Que viene como resultado natural de separar el \ln a y adicionarlo dentro de la constante de integración. Pero esto no es un error dado el contexto de uso, simplemente es un ejercicio de conciencia para la buena manipulación algebraica y conceptual de las funciones trigonométricas hiperbólicas, sobre todo cuando se tienen argumentos con expresiones más elaboradas.


Post #09mycomplexsoul

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