La Identidad de Pascal

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Sean n y r enteros positivos con r\leq n. Entonces

\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}

DEMOSTRACIÓN

La demostración se realiza de forma algebraica mostrando que el lado derecho es reducible al lado izquierdo.

\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left( n-1\right) !}{\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left(n-r-1\right) !}

Multiplicando por la identidad convenientemente, el primer término por \frac{r}{r} y el segundo por \frac{n-r}{n-r}

=\frac{r\left( n-1\right) !}{r\left( r-1\right) !\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right) \left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) \left(n-r-1\right) !}

Completando factoriales

=\frac{r\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}+\frac{\left( n-r\right)\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}

Factorizando el término común

=\frac{\left( n-1\right) !}{r!\left( n-r\right) !}\left( r+\left(n-r\right) \right)

Simplificando

=\frac{\left( n-1\right) !n}{r!\left( n-r\right) !}

Completando factorial

=\frac{n!}{r!\left( n-r\right) !}

=\binom{n}{r}

Así la identidad queda demostrada.

Post #12 – mycomplexsoul

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