Integrales Logarítmicas

Para n\geq 0 entero, se tiene

\int \left( \ln x\right) ^{n}dx=x\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{n!}{\left( n-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{n-i}

Donde 0!=1. La demostración se hace por inducción.


DEMOSTRACIÓN

Para n=0. Muy simple, pero también se cumple.

\int \left( \ln x\right) ^{0}dx=x\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{0!}{\left( 0-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{0-i}=x\left( 1\right) =x

Para n=1.

\int \left( \ln x\right) ^{1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{1}\left( -1\right) ^{i}\frac{1!}{\left( 1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{1-i}=x\left( \ln x-1\right)

Suponemos para n\leq k.

\int \left( \ln x\right) ^{k}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}

Probamos para n=k+1. Integrando por partes.

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=\int \left( \ln x\right) ^{k}\ln xdx

=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \left( \ln x\right) ^{k}-\left( \ln x\right) ^{k-1}\right) dx

=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \ln x\right) ^{k}dx+k\int \left( \ln x\right) ^{k-1}dx

Sustituyendo

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}
+kx\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-i}

Sacando el primer termino de la primera sumatoria y renombrando índices para sumar adecuadamente

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}
-kx\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( \left( -1\right) ^{j-1}\frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}-\left( -1\right) ^{j}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}\right)

Acomodando

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}
-x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-1}k\left( \frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}+\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\right) \left( \ln x\right) ^{k-1-j}

Simplificando

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}
+x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-2}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}

Renombrando índice, 2 posiciones para incluir los dos terminos aislados

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}
+x\sum\limits_{i=2}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}

Introduciendo en la sumatoria con i=0 y i=1 respectivamente

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}

Demostrado \forall n\in \mathbb{N}.


Post #06mycomplexsoul

Integrales Trigonométricas

Las integrales exactas para las formas trigonométricas \int x^{n}\sin xdx\ y\ \int x^{n}\cos xdx con n\in \mathbb{N}\cup \left\{ 0\right\} son

\int x^{n}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{n}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Donde \frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( f\left( x\right) \right) =f\left( x\right) para ambas funciones.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hará por inducción.

Para n=0 se cumple de la siguiente forma

\int \sin xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \sin x\right) =-\cos x

\int \cos xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \cos x\right) =\sin x

Suponemos para n=k

\int x^{k}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Y demostramos para n=k+1 usando integración por partes

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \int x^{k}\sin xdx

Sustituyendo las integrales \int x^{k}\sin xdx y \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) \right)

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) \right)

Ahora simplemente metemos el primer termino a la sumatoria usando i=k+1. Reescribiendo

\int x^{k+1}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k+1}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Demostrado \forall n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} .


Post #05mycomplexsoul

Método de Congruencias Lineales Modulares

z_{n}=\left( az_{n-1}+c\right) \mbox{mod}m

Donde a,c,m,z_{0} son enteros positivos conocidos, n\in \mathbb{N} y z_{0} es la “semilla” del método.

Ésta sucesión así definida, genera un conjunto de números pseudo-aleatorios que tiene periodo completo si se cumplen:

1) El mcd de \left( m,a\right) es igual a 1. (mcd=Máximo Común
Divisor)

2) Si p es un primo tal que p\backslash m entonces

p\backslash \left(a-1\right)

3) Si 4\backslash m entonces 4\backslash \left( a-1\right)

EJEMPLO

Si z_{0}=8,a=3,c=5,m=19 entonces z_{1}=\left( 3\ast 8+5\right) \mbox{mod}19=10 y la sucesión generada es:

z_{i}=\left\{ 10,16,15,17,18,2,11,0,5,1,8,...\right\}


SIN RECURSIVIDAD

Se probará por inducción sobre n que al resolver la recursividad
nos queda

z_{n}=\left( a^{n}z_{0}+\frac{c\left( a^{n}-1\right) }{a-1}\right) \mbox{mod}m

Para n=0 es obvio que z_{0}=\left( z_{0}\right) \mbox{mod}m, al igual que para n=1 queda z_{n}=\left( az_{0}+c\right) \mbox{mod}m

Suponemos para n=k que

z_{k}=\left( a^{k}z_{0}+\frac{c\left( a^{k}-1\right) }{a-1}\right) \mbox{mod}m

Y ahora para n=k+1 tenemos por definición

z_{k+1}=\left( az_{k}+c\right) \mbox{mod}m

Sustituyendo z_{k}

z_{k+1}=\left( a^{k+1}z_{0}+\frac{ac\left( a^{k}-1\right) }{a-1}+c\right) \mbox{mod}m

z_{k+1}=\left( a^{k+1}z_{0}+\frac{c\left( a^{k+1}-a\right) +c\left(a-1\right) }{a-1}\right) \mbox{mod}m

z_{k+1}=\left( a^{k+1}z_{0}+\frac{c\left( a^{k+1}-1\right) }{a-1}\right) \mbox{mod}m

Demostrado \forall n\in \mathbb{N}\cup \left\{ 0\right\} .


Post #04mycomplexsoul

Análisis de Números Pseudo-aleatorios

Se pretende analizar un conjunto de numeros pseudo-aleatorios para hallar los coeficientes del método de congruencias lineales modulares z_{n}=\left( az_{n-1}+c \right) \left( \mbox{mod}\right) m asociado al conjunto generado.

Aunque técnicamente podemos intentar hallar los coeficientes de cualquier método de generación de números pseudo-aleatorios, tomamos el más sencillo para dar una idea intuitiva de lo que podemos hacer para otros métodos.

Existe la dificultad de saber si realmente los datos que tenemos provienen de un método de congruencias lineales modulares de la forma en que proponemos aquí. En este caso suponemos que los datos provienen de un método de congruencias lineales modulares con coeficientes particulares a,c,m,z_{0}.


ANÁLISIS EN CONDICIONES IDEALES

Sea \left\{ z_{n}\right\} _{n=1}^{M} una sucesión de números pseudo-aleatorios generados por el método de congruencias lineales modulares, donde M\in \mathbb{N} (de preferencia M\rightarrow \infty )

DETERMINAR m

Supongamos que z_{n}=\left( az_{n-1}+c\right) \left( \mbox{mod}\right) m tiene periodo completo, es decir z_{j}=z_{j+m} \forall j\geq 0. De modo que si contamos con los suficientes datos podemos hallar fácilmente el parámetro m. Sabemos que \max_{n\in \mathbb{N}}\left\{ z_{n}\right\} =m-1 por ser el residuo más grande, de modo que

m=\max_{n\in \mathbb{N}}\left\{ z_{n}\right\} +1

DETERMINAR z_{0}

Observe que z_{0}=z_{0+m} de modo que si conocemos m, z_{m} coincide en valor con la semilla del método. De modo que

z_{0}=z_{m}

De no conocer el valor de z_{m}, necesitamos conocer los parámetros a,c,m para determinar z_{0} de z_{1}=\left( az_{0}+c\right) \left( \mbox{mod}\right) m resolviendo la siguiente ecuación entera

z_{0}=a^{-1}\left( z_{1}+hm-c\right)

Donde h es el entero asociado a z_{1}+hm=az_{0}+c después de haber calculado el modulo.

DETERMINAR c

Si z_{j}=0 para algún j, entonces el siguiente z_{j+1}=\left( a\ast 0+c\right) \left( \mbox{mod}\right) m=c+hm, h\geq 0 de modo que

c=z_{j+1}-hm

DETERMINAR a

Si z_{j}=1 para algún j, entonces el siguiente z_{j+1}=\left( a\ast 1+c\right) \left( \mbox{mod}\right) m=a+c+hm, h\geq 0 de modo que

a=z_{j+1}-c-hm


Post #03mycomplexsoul

Integrales Exponenciales

La integral exponencial simple \int x^{n}e^{ax}dx con n\geq 0 y a
constante tiene por resultado:

\int x^{n}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right)

Donde \frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( x^{n}\right) =x^{n}.

Para demostrar este resultado usamos inducción sobre n.


DEMOSTRACIÓN

Para n=0.

\int x^{0}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) =e^{ax}\left( \frac{1}{a}\right)

Suponemos para n=k.

\int x^{k}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right)

Probamos para n=k+1. Usando integración por partes.

\int x^{k+1}e^{ax}dx=\frac{1}{a}x^{k+1}e^{ax}-\frac{\left( k+1\right) }{a}\int x^{k}e^{ax}dx

Sustituyendo

\int x^{k+1}e^{ax}dx=\frac{1}{a}x^{k+1}e^{ax}-\frac{\left( k+1\right) }{a}e^{ax}\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{1}{a^{i+1}}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right)

Reescribiendo el índice de la sumatoria

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}-\frac{\left( k+1\right) }{a}\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j-1}\frac{1}{a^{j}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( x^{k}\right) \right)

Reescribiendo

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( \left( k+1\right) x^{k}\right) \right)

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j-1}}{dx^{j-1}}\left( \frac{d}{dx}\left( x^{k+1}\right) \right) \right)

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\left( \frac{1}{a}x^{k+1}+\sum\limits_{j=1}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\left( x^{k+1}\right) \right)

Introduciendo el termino restante con j=0.

\int x^{k+1}e^{ax}dx=e^{ax}\sum\limits_{j=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{j}\frac{1}{a^{j+1}}\frac{d^{j}}{dx^{j}}\left( x^{k+1}\right)

Demostrado \forall n\in \mathbb{N}.


Post #02mycomplexsoul

Raíz Cúbica

El algoritmo para calcular la raíz cúbica a mano es idéntico al de la raíz cuadrada salvo las diferencias en la expansión binomial \left( a+b\right) ^{3} respecto a \left( a+b\right) ^{2}.

En el algoritmo de raíz cuadrada, se usa la expansión \left(a+b\right) ^{2}=\allowbreak a^{2}+2ab+b^{2} de tal forma que al separar los digitos de a+b en pares podamos aproximar el primer numero a dejando el resto de la expresión para repeticiones sucesivas del algoritmo. De este modo cuando en el siguiente paso hacemos “el doble del numero que elegimos agregando otro tal que multiplicado por el numero que agregamos sea menor que el resto dentro de la casita” es exactamente lo mismo que hacer \left(2a\ast 10+b\right) \ast b=2ab+b^{2} que es el complemento de la expansión binomial (con la ligera diferencia de que $a$ es un multiplo de 10). Para la raíz cúbica se hará lo mismo en cada paso, entonces:

ALGORITMO

1.- Separamos los digitos de a+b en ternas de derecha a izquierda a partir del punto decimal y después del punto, de izquierda a derecha.

2.- Se aproxima por abajo la raíz cúbica del numero (en bloques de comas) más a la izquierda y se anota en el resultado calculando el resto y agregando la siguiente terna.

3.- Usando el resultado actual multiplicado por 10 como a y agregando un b de tal forma que la expresión 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} aproxime por abajo al resto actual. Calculamos el resto, agregamos la siguiente terna (si la hay).

4.- Se repite el paso 3 hasta terminar con las ternas o hasta la precisión deseada.


EJEMPLO \sqrt[3]{15363967256}=2486

Paso 1: Separamos los digitos en ternas.

\sqrt[3]{15,363,967,256}

Paso 2: Aproximamos \sqrt[3]{15} por debajo, esto es 2. De modo que 15-2^{3}=7, lo anotamos y agregamos la siguiente terna de arriba 363.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2 \\\text{ \ \ \ }7,363 &\end{array}

Paso 3: Hacemos a=2\ast 10=20 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 7,363. Reexpresando tenemos: 3\left( 20\right)^{2}b+3\left( 20\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 1200b+60b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 1200b seleccionando b=4 obtenemos 1200\left( 4\right) +60\left( 4\right) ^{2}+4^{3}=\allowbreak 5,824. Anotamos el 4 (el valor de b que elegimos), calculamos el resto 7363-5824=1539, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna. (Note que con b=5 nos hubieramos pasado del resto obteniendo 1200\left( 5\right) +60\left(5\right) ^{2}+5^{3}=\allowbreak 7625).

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 24 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 &\end{array}

Paso 3 (Segunda iteración): Ahora hacemos a=24\ast 10=240 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 1,539,967. Reexpresando: 3\left( 240\right) ^{2}b+3\left( 240\right) b^{2}+b^{3}=\allowbreak 172800b+720b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 172800b seleccionando b=8 obtenemos 172800\left( 8\right) +720\left( 8\right)^{2}+8^{3}=\allowbreak 1428\,992. Anotamos el 8 (el valor de b que elegimos), calculamos el resto 1,539,967-1,428,992=110,975, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 248 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 &\end{array}

Paso 3 (Tercera iteración): Ahora hacemos a=248\ast 10=2480 y pensamos un b tal que 3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\leq 110,975,256. Reexpresando tenemos: 3\left( 2480\right) ^{2}b+3\left( 2480\right) b^{2}+b^{3}, donde el termino “lider” es 3\left( 2480\right) ^{2}b seleccionando b=6 obtenemos 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right) +3\left( 2480\right)\left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256. Anotamos el 6 (el valor de $b$ que elegimos), calculamos el resto 110,975,256-11,097,256=0, lo anotamos debajo y como el resto es cero, la raíz es exacta.

\begin{array}{ll}\sqrt[3]{15,363,967,256} & 2486 \\\text{ \ \ \ }7,363 & 3\left( 20\right) ^{2}\left( 4\right) +3\left(20\right) \left( 4\right) ^{2}+\left( 4\right) ^{3}=\allowbreak 5,824 \\\text{ \ \ \ }1,539,967 & 3\left( 240\right) ^{2}\left( 8\right) +3\left(240\right) \left( 8\right) ^{2}+\left( 8\right) ^{3}=1,428\,,992 \\\text{ \ \ \ \ \ \ }110,975,256 & 3\left( 2480\right) ^{2}\left( 6\right)+3\left( 2480\right) \left( 6\right) ^{2}+\left( 6\right) ^{3}=\allowbreak 110\,975\,256 \\\text{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }0 &\end{array}

De este modo:

\sqrt[3]{15,363,967,256}=2486

Como este procedimiento es general, para cualquier entero n>3 basta con sustituir las referencias cúbicas por n-ésimas y la expansión binomial cúbica por la n-ésima \left( a+b\right) ^{n}.


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