La expresión general que es una potencia de la función trigonométrica coseno, es reducible a una suma de cosenos lineales de acuerdo a la siguiente fórmula.
Proposición:
La demostración se hará por inducción para par e impar, demostrando pares e impares por separado.
DEMOSTRACIÓN
Con impar
Para tenemos:
Suponemos para
Para demostrar el siguiente impar multiplicamos por
Introduciendo a la sumatoria y viendo que
Multiplicando
Utilizando la identidad trigonométrica
Separando sumatorias
Para poder sumar correctamente vamos a separar los dos primeros terminos de la primera sumatoria, los dos últimos terminos de la segunda sumatoria, el primero y el último termino de la tercera sumatoria. De este modo:
Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que
Factorizando
Reexpresando convenientemente
Sumando
Reexpresando
Reexpresando convenientemente
Reescribiendo el índice de la sumatoria
Incorporando los terminos separados
Demostrado para impar.
Con par
Para tenemos:
Suponemos para
Para demostrar el siguiente par multiplicamos por
Introduciendo a la sumatoria y viendo que
Multiplicando
Utilizando la identidad trigonométrica
Separando sumatorias
Para poder sumar correctamente vamos a separar los dos primeros terminos de la primera sumatoria, los dos últimos terminos de la segunda sumatoria, el primero y el último termino de la tercera sumatoria. De este modo:
Ahora simplemente renombramos y en los terminos separados sumamos recordando que
Factorizando
Reexpresando convenientemente
Sumando
Reexpresando
Reexpresando convenientemente
Reescribiendo el índice de la sumatoria
Incorporando los terminos separados
Demostrado para par.