logaritmo natural

Básicamente tratamos de responder a la pregunta $\log \left( a+bi\right)=?$ basándonos inicialmente en la función logaritmo natural.

LOGARITMO NATURAL

Usaremos el hecho de que sabemos evaluar la función exponencial para números complejos $e^{a+bi}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b$ y proponemos lo siguiente

$\ln \left( a+bi\right) =x+yi$

$a+bi=e^{x+yi}$

$a+bi=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y$

Ésta igualdad de números complejos se cumple si y sólo si se satisface el sistema de ecuaciones asociado

$a=e^{x}\cos y$

$b=e^{x}\sin y$

Para resolver este sistema en términos de $x,y$ sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

$a^{2}+b^{2}=e^{2x}\left( \cos ^{2}y+\sin ^{2}y\right)$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=e^{x}$

$x=\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Para hallar el valor de $y$ dividimos la segunda entre la primera como sigue

$\frac{b}{a}=\frac{e^{x}\sin y}{e^{x}\cos y}$

$\frac{b}{a}=\tan y$

$y=\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

De este modo tenemos

$\ln \left( a+bi\right) =\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

Donde $a+bi\neq 0+0i$ .

LOGARITMO EN CUALQUIER BASE

El mismo cálculo se puede hacer para cualquier base $w\neq 0+0i$ siguiendo el mismo procedimiento dado que $w^{a+bi}=w^{a}\cos \left( b\ln w\right) +w^{a}\sin \left( b\ln w\right)$ (observe que esto es válido dada la extensión que acabamos de hacer para la función logaritmo natural) entonces

$\log _{w}\left( a+bi\right) =x+yi$

$a+bi=w^{x+yi}$

$a+bi=w^{x}\cos \left( y\ln w\right) +iw^{x}\sin \left( y\ln w\right)$

Ell sistema de ecuaciones asociado es

$a=w^{x}\cos \left( y\ln w\right)$

$b=w^{x}\sin \left( y\ln w\right)$

Para resolver este sistema en términos de $x,y$ sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

$a^{2}+b^{2}=w^{2x}\left( \cos ^{2}\left( y\ln w\right) +\sin ^{2}\left( y\ln w\right) \right)$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=w^{x}$

$x=\log _{w}\sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Para hallar el valor de $y$ dividimos la segunda entre la primera como sigue

$\frac{b}{a}=\frac{w^{x}\sin \left( y\ln w\right) }{w^{x}\cos \left( y\ln w\right) }$

$\frac{b}{a}=\tan \left( y\ln w\right)$

$y=\frac{1}{\ln w}\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

Finalmente

$\log _{w}\left( a+bi\right) =\log _{w}\sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\frac{1}{\ln w}\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

Donde $a+bi\neq 0+0i$ y $w\neq 0+0i$ .

Post #08 – mycomplexsoul

Para $n\geq 0$ entero, se tiene

$\int \left( \ln x\right) ^{n}dx=x\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{n!}{\left( n-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{n-i}$

Donde $0!=1$ . La demostración se hace por inducción.

DEMOSTRACIÓN

Para $n=0$ . Muy simple, pero también se cumple.

$\int \left( \ln x\right) ^{0}dx=x\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{0!}{\left( 0-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{0-i}=x\left( 1\right) =x$

Para $n=1$ .

$\int \left( \ln x\right) ^{1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{1}\left( -1\right) ^{i}\frac{1!}{\left( 1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{1-i}=x\left( \ln x-1\right)$

Suponemos para $n\leq k$ .

$\int \left( \ln x\right) ^{k}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}$

Probamos para $n=k+1$ . Integrando por partes.

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=\int \left( \ln x\right) ^{k}\ln xdx$

$=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \left( \ln x\right) ^{k}-\left( \ln x\right) ^{k-1}\right) dx$

$=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \ln x\right) ^{k}dx+k\int \left( \ln x\right) ^{k-1}dx$

Sustituyendo

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}$
$+kx\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-i}$

Sacando el primer termino de la primera sumatoria y renombrando índices para sumar adecuadamente

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}$
$-kx\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( \left( -1\right) ^{j-1}\frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}-\left( -1\right) ^{j}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}\right)$

Acomodando

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}$
$-x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-1}k\left( \frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}+\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\right) \left( \ln x\right) ^{k-1-j}$

Simplificando

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}$
$+x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-2}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}$

Renombrando índice, 2 posiciones para incluir los dos terminos aislados

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}$
$+x\sum\limits_{i=2}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}$

Introduciendo en la sumatoria con $i=0$ y $i=1$ respectivamente

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}$

Demostrado $\forall n\in \mathbb{N}$ .

Post #06 – mycomplexsoul

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Logaritmo de Números Complejos

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