DEFINICIÓN
Las funciones trigonométricas hiperbólicas se definen en términos de la función exponencial de la siguiente manera:
Cuyo dominio es (o más estrictamente ). Y las funciones inversas de éstas se definen en términos de la función logaritmo natural y se pueden deducir despejando las expresiones anteriores, quedando:
Cuyo dominio es (estrictamente serían , , respectivamente).
PROBLEMA
No obstante, introducir una simple constante como divisor de parece oscurecer la forma que debe tener la inversa de la función. Es decir ¿Cuál es la inversa de ? ()
CONJETURANDO
Suponiendo que no conocemos la definición de podemos tratar de hallar la inversa de mediante la siguiente sucesión de pasos lógicos:
Como podemos multiplicar y posteriormente reacomodar
Completando el cuadrado sumando a ambos lados y despejando
De este modo la inversa es .
CORRIGIENDO EL CAMINO
No obstante esta no es la inversa pues las composiciones y no coinciden con esta definición. La siguiente igualdad fallará:
Llegado a este paso, el miembro izquierdo de la ecuación no se puede simplificar más a menos que . El lado derecho se simplifica como sigue:
De este modo:
El error radica en la forma en que se concibe a la variable independiente en el cálculo de la inversa pues, desde el comienzo se maneja en vez de de tal forma que podemos interpretar nuestra variable independiente como , de este modo el despeje para hallar la inversa es el adecuado:
De este modo la inversa es .
LA IMPORTANCIA
Es importante tener clara cuál es la función inversa (y su dominio y rango) pues no parece haber referencias fiables siempre a la mano, por ejemplo es muy común que en libros de texto se llegué al cálculo de esta función inversa por medio de una integral, es natural saber cual es la integral a resolver si sabemos que:
De modo que al integrar mediante el cambio de variable obtendremos de forma natural la inversa:
Hay muchas referencias textuales que indican que el resultado de la integral (y por lo tanto, la inversa de ) es:
Que viene como resultado natural de separar el y adicionarlo dentro de la constante de integración. Pero esto no es un error dado el contexto de uso, simplemente es un ejercicio de conciencia para la buena manipulación algebraica y conceptual de las funciones trigonométricas hiperbólicas, sobre todo cuando se tienen argumentos con expresiones más elaboradas.
Post #09 – mycomplexsoul