El algoritmo para calcular la raíz cúbica a mano es idéntico al de la raíz cuadrada salvo las diferencias en la expansión binomial respecto a .
En el algoritmo de raíz cuadrada, se usa la expansión de tal forma que al separar los digitos de en pares podamos aproximar el primer numero dejando el resto de la expresión para repeticiones sucesivas del algoritmo. De este modo cuando en el siguiente paso hacemos «el doble del numero que elegimos agregando otro tal que multiplicado por el numero que agregamos sea menor que el resto dentro de la casita» es exactamente lo mismo que hacer que es el complemento de la expansión binomial (con la ligera diferencia de que $a$ es un multiplo de 10). Para la raíz cúbica se hará lo mismo en cada paso, entonces:
ALGORITMO
1.- Separamos los digitos de en ternas de derecha a izquierda a partir del punto decimal y después del punto, de izquierda a derecha.
2.- Se aproxima por abajo la raíz cúbica del numero (en bloques de comas) más a la izquierda y se anota en el resultado calculando el resto y agregando la siguiente terna.
3.- Usando el resultado actual multiplicado por 10 como y agregando un de tal forma que la expresión aproxime por abajo al resto actual. Calculamos el resto, agregamos la siguiente terna (si la hay).
4.- Se repite el paso 3 hasta terminar con las ternas o hasta la precisión deseada.
EJEMPLO
Paso 1: Separamos los digitos en ternas.
Paso 2: Aproximamos por debajo, esto es 2. De modo que , lo anotamos y agregamos la siguiente terna de arriba 363.
Paso 3: Hacemos y pensamos un tal que . Reexpresando tenemos: , donde el termino «lider» es seleccionando b=4 obtenemos . Anotamos el 4 (el valor de que elegimos), calculamos el resto 7363-5824=1539, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna. (Note que con b=5 nos hubieramos pasado del resto obteniendo ).
Paso 3 (Segunda iteración): Ahora hacemos y pensamos un tal que . Reexpresando: , donde el termino «lider» es seleccionando b=8 obtenemos . Anotamos el 8 (el valor de que elegimos), calculamos el resto 1,539,967-1,428,992=110,975, lo anotamos debajo y bajamos la siguiente terna.
Paso 3 (Tercera iteración): Ahora hacemos y pensamos un tal que . Reexpresando tenemos: , donde el termino «lider» es seleccionando b=6 obtenemos . Anotamos el 6 (el valor de $b$ que elegimos), calculamos el resto 110,975,256-11,097,256=0, lo anotamos debajo y como el resto es cero, la raíz es exacta.
De este modo:
Como este procedimiento es general, para cualquier entero basta con sustituir las referencias cúbicas por n-ésimas y la expansión binomial cúbica por la n-ésima .
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