extensión a dominio complejo

Básicamente tratamos de responder a la pregunta $\log \left( a+bi\right)=?$ basándonos inicialmente en la función logaritmo natural.

LOGARITMO NATURAL

Usaremos el hecho de que sabemos evaluar la función exponencial para números complejos $e^{a+bi}=e^{a}\cos b+ie^{a}\sin b$ y proponemos lo siguiente

$\ln \left( a+bi\right) =x+yi$

$a+bi=e^{x+yi}$

$a+bi=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y$

Ésta igualdad de números complejos se cumple si y sólo si se satisface el sistema de ecuaciones asociado

$a=e^{x}\cos y$

$b=e^{x}\sin y$

Para resolver este sistema en términos de $x,y$ sumamos los cuadrados de ambas ecuaciones de la siguiente forma

$a^{2}+b^{2}=e^{2x}\left( \cos ^{2}y+\sin ^{2}y\right)$

$\sqrt{a^{2}+b^{2}}=e^{x}$

$x=\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}$

Para hallar el valor de $y$ dividimos la segunda entre la primera como sigue

$\frac{b}{a}=\frac{e^{x}\sin y}{e^{x}\cos y}$

$\frac{b}{a}=\tan y$

$y=\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

De este modo tenemos

$\ln \left( a+bi\right) =\ln \sqrt{a^{2}+b^{2}}+i\arctan \left( \frac{b}{a}\right)$

Donde $a+bi\neq 0+0i$ .

LOGARITMO EN CUALQUIER BASE

El mismo cálculo se puede hacer para cualquier base $w\neq 0+0i$ siguiendo el mismo procedimiento dado que $w^{a+bi}=w^{a}\cos \left( b\ln w\right) +w^{a}\sin \left( b\ln w\right)$ (observe que esto es válido dada la extensión que acabamos de hacer para la función logaritmo natural) entonces