integrales

Para $n\geq 0$ entero, se tiene

$\int \left( \ln x\right) ^{n}dx=x\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{n!}{\left( n-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{n-i}$

Donde $0!=1$ . La demostración se hace por inducción.

DEMOSTRACIÓN

Para $n=0$ . Muy simple, pero también se cumple.

$\int \left( \ln x\right) ^{0}dx=x\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{0!}{\left( 0-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{0-i}=x\left( 1\right) =x$

Para $n=1$ .

$\int \left( \ln x\right) ^{1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{1}\left( -1\right) ^{i}\frac{1!}{\left( 1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{1-i}=x\left( \ln x-1\right)$

Suponemos para $n\leq k$ .

$\int \left( \ln x\right) ^{k}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}$

Probamos para $n=k+1$ . Integrando por partes.

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=\int \left( \ln x\right) ^{k}\ln xdx$

$=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \left( \ln x\right) ^{k}-\left( \ln x\right) ^{k-1}\right) dx$

$=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \ln x\right) ^{k}dx+k\int \left( \ln x\right) ^{k-1}dx$

Sustituyendo

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}$
$+kx\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-i}$

Sacando el primer termino de la primera sumatoria y renombrando índices para sumar adecuadamente

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}$
$-kx\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( \left( -1\right) ^{j-1}\frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}-\left( -1\right) ^{j}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}\right)$

Acomodando

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}$
$-x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-1}k\left( \frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}+\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\right) \left( \ln x\right) ^{k-1-j}$

Simplificando

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}$
$+x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-2}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}$

Renombrando índice, 2 posiciones para incluir los dos terminos aislados

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}$
$+x\sum\limits_{i=2}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}$

Introduciendo en la sumatoria con $i=0$ y $i=1$ respectivamente

$\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}$

Demostrado $\forall n\in \mathbb{N}$ .

Post #06 – mycomplexsoul

Las integrales exactas para las formas trigonométricas $\int x^{n}\sin xdx\$ y $\ \int x^{n}\cos xdx$ con $n\in \mathbb{N}\cup \left\{ 0\right\}$ son

$\int x^{n}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)$

$\int x^{n}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)$

Donde $\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( f\left( x\right) \right) =f\left( x\right)$ para ambas funciones.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hará por inducción.

Para $n=0$ se cumple de la siguiente forma

$\int \sin xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \sin x\right) =-\cos x$

$\int \cos xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \cos x\right) =\sin x$

Suponemos para $n=k$

$\int x^{k}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)$

$\int x^{k}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)$

Y demostramos para $n=k+1$ usando integración por partes

$\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \int x^{k}\cos xdx$

$\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \int x^{k}\sin xdx$

Sustituyendo las integrales $\int x^{k}\sin xdx$ y $\int x^{k}\cos xdx$

$\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) \right)$

$\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) \right)$