Integrales Logarítmicas

Para n\geq 0 entero, se tiene

\int \left( \ln x\right) ^{n}dx=x\sum\limits_{i=0}^{n}\left( -1\right) ^{i}\frac{n!}{\left( n-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{n-i}

Donde 0!=1. La demostración se hace por inducción.


DEMOSTRACIÓN

Para n=0. Muy simple, pero también se cumple.

\int \left( \ln x\right) ^{0}dx=x\sum\limits_{i=0}^{0}\left( -1\right) ^{i}\frac{0!}{\left( 0-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{0-i}=x\left( 1\right) =x

Para n=1.

\int \left( \ln x\right) ^{1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{1}\left( -1\right) ^{i}\frac{1!}{\left( 1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{1-i}=x\left( \ln x-1\right)

Suponemos para n\leq k.

\int \left( \ln x\right) ^{k}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}

Probamos para n=k+1. Integrando por partes.

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=\int \left( \ln x\right) ^{k}\ln xdx

=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \left( \ln x\right) ^{k}-\left( \ln x\right) ^{k-1}\right) dx

=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-k\int \left( \ln x\right) ^{k}dx+k\int \left( \ln x\right) ^{k-1}dx

Sustituyendo

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\sum\limits_{i=0}^{k}\left( -1\right) ^{i}\frac{k!}{\left( k-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-i}
+kx\sum\limits_{i=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-i}

Sacando el primer termino de la primera sumatoria y renombrando índices para sumar adecuadamente

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}
-kx\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( \left( -1\right) ^{j-1}\frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}-\left( -1\right) ^{j}\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}\right)

Acomodando

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x-1\right) \left( \ln x\right) ^{k}-kx\left( \ln x\right) ^{k}
-x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-1}k\left( \frac{k!}{\left( k-1-j\right) !}+\frac{\left( k-1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\right) \left( \ln x\right) ^{k-1-j}

Simplificando

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}
+x\sum\limits_{j=0}^{k-1}\left( -1\right) ^{j-2}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k-1-j\right) !}\left( \ln x\right) ^{k-1-j}

Renombrando índice, 2 posiciones para incluir los dos terminos aislados

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\left( \ln x\right) ^{k+1}-\left( k+1\right) x\left( \ln x\right) ^{k}
+x\sum\limits_{i=2}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}

Introduciendo en la sumatoria con i=0 y i=1 respectivamente

\int \left( \ln x\right) ^{k+1}dx=x\sum\limits_{i=0}^{k+1}\left( -1\right) ^{i}\frac{\left( k+1\right) !}{\left( k+1-i\right) !}\left( \ln x\right) ^{k+1-i}

Demostrado \forall n\in \mathbb{N}.


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Integrales Trigonométricas

Las integrales exactas para las formas trigonométricas \int x^{n}\sin xdx\ y\ \int x^{n}\cos xdx con n\in \mathbb{N}\cup \left\{ 0\right\} son

\int x^{n}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{n}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{n}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{n}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Donde \frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( f\left( x\right) \right) =f\left( x\right) para ambas funciones.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hará por inducción.

Para n=0 se cumple de la siguiente forma

\int \sin xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \sin x\right) =-\cos x

\int \cos xdx=-\sum_{i=0}^{0}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{0}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) =-\frac{d^{0}}{dx^{0}}\left( 1\right) \frac{d}{dx}\left( \cos x\right) =\sin x

Suponemos para n=k

\int x^{k}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Y demostramos para n=k+1 usando integración por partes

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \int x^{k}\sin xdx

Sustituyendo las integrales \int x^{k}\sin xdx y \int x^{k}\cos xdx

\int x^{k+1}\sin xdx=-x^{k+1}\cos x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right) \right)

\int x^{k+1}\cos xdx=x^{k+1}\sin x+\left( k+1\right) \left( -\sum_{i=0}^{k}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right) \right)

Ahora simplemente metemos el primer termino a la sumatoria usando i=k+1. Reescribiendo

\int x^{k+1}\sin xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \sin x\right)

\int x^{k+1}\cos xdx=-\sum_{i=0}^{k+1}\frac{d^{i}}{dx^{i}}\left( x^{k+1}\right) \frac{d^{i+1}}{dx^{i+1}}\left( \cos x\right)

Demostrado \forall n\in \mathbb{N} \cup \left\{ 0\right\} .


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